【数理科学特論B】旧名称:応用数学C 〉 〈↓下の目次の第1〜7章をクリックすると,
                                      各章のPdf版の講義ノートを閲覧できます!〉

 工学の幅広い分野で使われ,かつ解析上の強力な手段となり得る応用数学の基本的な2つの分野として,複素関数論と変分法を
取り挙げ,数学的センスを身に付けることを狙った講義を行なう。
 具体的には,複素関数論ではガウス平面の概念から始めて,正則関数とコーシー・リーマンの条件,留数定理まで,変分法では,物理現象に
対する数学モデルの作成に重点を置いて講義し,付帯条件付きの変分問題として所謂等周問題に言及する。 何れも,数学的厳密さに
拘ることなく,力学・流体力学・振動問題などへの適用を念頭に置いた内容である。


                  目 次

      第T部 複 素 関 数 論
                                           ページ
第1章 複 素 数 ・・・・・ 〈 p. 1〜6 〉
 §1.1 複素数とガウス平面 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
 §1.2 オイラーの公式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2
 §1.3 複 素 共 役 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2
 §1.4 四 則 演 算 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2
 §1.5 乗法の幾何学 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 3
 §1.6 加法・減法の幾何学と三角不等式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 4
 §1.7 ド・モアブルの公式とその応用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 5
 §1.8 n乗根とガウス平面 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 5

第2章 初等関数と写像 ・・・・・ 〈 p. 7〜12 〉
 §2.1 1 次 関 数 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 7
 §2.2 分 数 関 数 1/z ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 7
 §2.3 2 次 関 数 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 8
 §2.4 平 方 根 √z ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 10
 §2.5 指 数 関 数 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 10
 §2.6 三 角 関 数 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 11
 §2.7 対数関数と多価性 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 11
 §2.8 冪 関 数 zβ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 12

第3章 複素関数の微分と正則関数 ・・・・・ 〈 p.13〜21 〉
 §3.1 導 関 数 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 13
 §3.2 コーシー・リーマンの条件 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 15
 §3.3 コーシー・リーマンの条件の別解釈 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 17
 §3.4 初等関数の導関数 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 18
 §3.5 逆関数の導関数と正則性 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 19

第4章 複素関数の積分法とコーシーの積分定理 ・・・・・ 〈 p.22〜32 〉
 §4.1 複 素 積 分 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 22
 §4.2 線積分と面積分 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 23
 §4.3 コーシーの積分定理 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 24
 §4.4 コーシーの積分公式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 26
 §4.5 モレラの定理 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 27
 §4.6 フーリエ逆変換の証明 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 28
 §4.7 テイラー展開 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 29
 §4.8 特異点とローラン展開 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 30

第5章 留数の定理と定積分の計算 ・・・・・ 〈 p.33〜39 〉
 §5.1 留数の定理 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 33
 §5.2 定積分の計算 (@) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 34
 §5.3 定積分の計算 (A) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 36
 §5.4 定積分の計算 (B) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 38

           第U部 変 分 法

第6章 変 分 原 理 ・・・・・ 〈 p.40〜47 〉
 §6.1 汎関数と許容関数 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 40
 §6.2 変分とオイラーの方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 40
 §6.3 最短曲線と最速降下線 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 42
 §6.4 多くの関数がある場合の変分 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 46

第7章 付帯条件付き変分問題 ― 等周問題 ― ・・・・・ 〈 p.48〜53 〉
 §7.1 等周問題 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 48
 §7.2 多くの関数がある場合の等周問題 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 49